Elementi di Logica

La logica si occupa dello studio delle regole del ragionamento.
Viene usata spesso in diversi contesti, per esempio in giurisprudenza, matematica e filosofia.

Nella logica, un ragionamento è composto da frasi, dette proposizioni. Ogni proposizione può essere vera o falsa (queste due parole sono anche dette valore di verità di una proposizione). Di conseguenza, qualsiasi frase che può assumere i valori vero o falso è una proposizione.

Una proposizione logica non può mai essere contemporaneamente vera o falsa.

Esempio

La frase
Il Po è una città.
è una proposizione perché possiamo assegnare un valore di verità, in questo caso falso.

Esempio

La frase
Giovanni è simpatico.
non è una proposizione logica: essendo la simpatia soggettiva, non possiamo affermare che la proposizione sia vera o falsa.

Algebra di Boole

E’ possibile effettuare un insieme di operazioni, sulle proposizioni logiche, che vanno sotto il nome di algebra di Boole, dal nome del matematico che l’ha ideata.

Una proposizione composta è l’unione, tramite un operatore, detto connettivo logico, di due o più proposizioni logiche semplici.

I connettivi logici più comuni sono AND, OR, NOT.

AND

La proposizione composta:

Giuseppe è alto e biondo

può essere riscritta nel seguente modo:

Giuseppe è alto e Giuseppe è biondo

Essa è vera se e solo se Giuseppe è contemporaneamente alto e biondo, cioè se sono soddisfatte entrambe le condizioni (Giuseppe alto e Giuseppe biondo). Nel caso in cui una delle due condizioni non è vera, l’intera proposizione diventa falsa.

In altri termini, indicando e con la parola AND, possiamo scrivere che la proposizione composta

A AND B

sarà vera se e solo se A e B sono vere. Considerando tutti i valori che possono assumere A e B, abbiamo:

Questa tabella è anche detta tabella di verità del connettore AND.

OR

La proposizione:

Giuseppe è alto o biondo

è vera se è vera una delle due condizioni. L’operatore o è detto OR. La sua tabella di verità è:

Quindi affinché A OR B sia vero è sufficiente che o A o B sia vero.

NOT

La proposizione:

Giuseppe non è biondo.

è vera solo se, appunto, Giuseppe non è biondo. Scrivendo la proposizione nel seguente modo:

Non è Giuseppe biondo

La parola Non è detta connettore NOT ed è vero solo se la condizione su cui è applicata è falsa:

NOT (Giuseppe è biondo)

se Giuseppe, ad esempio, è moro, quindi la proposizione “Giuseppe è biondo” è falsa, allora

NOT (Giuseppe è biondo) è vera

Tabella di verità

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